Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

Tìm giá bán tị nạnh lớn số 1 (GTLN) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa chấp lốt căn, biểu thức chứa chấp lốt độ quý hiếm vô cùng,...) là 1 trong những trong mỗi dạng toán lớp 9 có rất nhiều bài xích kha khá khó khăn và yên cầu kỹ năng áp dụng linh động trong những câu hỏi.

Bạn đang xem: cách tìm giá trị nhỏ nhất

Bài ghi chép này tiếp tục share với những em một trong những cơ hội lần độ quý hiếm lớn số 1 (GTLN, Max) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa chấp lốt căn, chứa chấp lốt độ quý hiếm vô cùng,...) qua chuyện một trong những bài xích tập dượt minh họa ví dụ.

* Cách lần độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 trở thành số)

- Muốn lần độ quý hiếm lớn số 1 hoặc độ quý hiếm nhỏ nhất của một biểu thức tao hoàn toàn có thể chuyển đổi biểu thức trở nên dạng: A²(x) + const ;(A biểu thức theo gót x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x² + 2x - 3.

Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)² - 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 ⇒ (x + 1)² - 4 ≥ -4

⇒ A ≥ - 4 lốt vì chưng xẩy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: A_min = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x² + 6x - 5.

Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x² + 6x - 5 = -x² + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)² + 4 = 4 - (x - 3)²

- Vì (x - 3)² ≥ 0 ⇒ -(x - 3)² ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)² ≤ 4

⇒ A ≤ 4 lốt vì chưng xẩy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: A_max = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức:

$small A=frac{1}{x^2+2x+5}$

- Tìm x nhằm A_max; tính A_max =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn số 1 thì biểu thức (x² + 2x + 5) đạt độ quý hiếm nhỏ nhất.

- Ta có: x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 nên (x + 1)² + 4 ≥ 4

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy $small Min_{(x^2+2x+5)}=4Leftrightarrow x=-1$

$small Rightarrow Max_{A}=frac{1}{4}Leftrightarrow x=-1$

Hay học hỏi và chia sẻ dn1

* Cách lần độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp lốt căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 trở thành số)

- Cũng tương tự động như cơ hội lần ở cách thức bên trên, áp dụng đặc thù của biểu thức ko âm như:

$small sqrt{-A^{2}(x)+b}le sqrt{b}; extrm{ }(0le b)$ hoặc $small sqrt{b}lesqrt{A^{2}(x)+b}; extrm{ }(0le b)$

- Dấu "=" xẩy ra khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:

$small A = 9+sqrt{2x^2-4x+5}$

° Lời giải:

- Ta thấy: $sqrt{2x^2-4x+5}=small sqrt{(2x^2-4x+2)+3}$

$small =sqrt{2(x^2-2x+1)+3}=sqrt{2(x-1)^2+3}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² + 3 ≥ 3

nên $small Rightarrow sqrt{2(x-1)^2+3}>=sqrt{3}$ dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{min}=9+sqrt{3}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{-3x^2+6x+2}$

° Lời giải:

- Ta có: $A=\sqrt{-3x^2+6x+2}=\sqrt{(-3x^2+6x-3)+3+2}$

$small =sqrt{-3(x^2-2x+1)+5}=sqrt{-3(x-1)^2+5}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)² ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)² + 5 ≤ 5

nên $small Rightarrow sqrt{-3(x-1)^2+5}lesqrt{5}$ dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{max}=sqrt{5}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{x^2+y^2-2xy+2x-2y+7}+2y^2-8y+2020$

° Lời giải:

- Ta có: $small sqrt{(x^2+y^2-2xy)+(2x-2y)+7}+2y^2-8y+2020$

Xem thêm: Giải đáp: Domba và McQueen khác nhau như thế nào?

$small =sqrt{(x-y)^2+2(x-y)+7}+(2y^2-8y+8)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)^2+2(x-y)+1]+6}+2(y^2-4y+4)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)+1]^2+6}+2(y-2)^2+2012$

small Rightarrow A>=sqrt{6}+2012 nên độ quý hiếm nhỏ nhất của B là small 2012+sqrt{6} đạt được khi:

$small left{egin{matrix} x-y+1=0\ y-2=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x= 1\ y=2 end{matrix} ight.$

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

$small dpi{100} small A=frac{1}{x-sqrt{x}+2}$

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt độ quý hiếm lớn số 1 thì small x-sqrt{x}+2 đạt độ quý hiếm nhỏ nhất

- Ta có: $small x-sqrt{2}+2=left (sqrt{x} ight )^2-2.frac{1}{2}sqrt{x}+frac{1}{4}-frac{1}{4}+2$

$small =left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}$

Lại có: $small left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2>=0,forall x>=0$ $small Rightarrow left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}>=frac{7}{4},forall x>=0$

Dấu"=" xẩy ra khi $small sqrt{x}-frac{1}{2}=0Leftrightarrow x=frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow Min(x-\sqrt{x}+2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow MaxA=\frac{4}{7}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

* Cách lần độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp lốt độ quý hiếm tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 trở thành số)

- Bài toán này cũng hầu hết phụ thuộc tính ko âm của trị vô cùng.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: small A=5-|2x-2|

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

Dấu "=" xẩy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy A_max = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xẩy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

Vậy A_min = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, những câu hỏi bên trên dựa vào những chuyển đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị vô cùng,...) và hằng số nhằm lần đi ra câu nói. giải.

Thực tế, còn nhiều câu hỏi cần dùng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho tới nhì số a, b ko âm: small a+b>=2sqrt{ab} (Dấu "=" xẩy ra khi a =b) hay vận dụng bất đẳng thức chứa chấp lốt độ quý hiếm tuyệt đối: small |a|+|b|>=|a+b| (dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); small |a-b|le|a|+|b| , (dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=frac{a}{b}+frac{b}{a}, extrm{ }forall a,b>0$

° Lời giải:

- Vì a,b>0 nên $small frac{a}{b}>0; extrm{ }frac{b}{a}>0$

- sát dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức đối chiếu thân ái tầm nằm trong và tầm nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

$small frac{a}{b}+frac{b}{a}>=2sqrt{frac{a}{b}.frac{b}{a}}=2$

Dấu "=" xẩy ra khi $small frac{a}{b}=frac{b}{a}Leftrightarrow a=b$

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=a+frac{1}{a-1}, extrm{ }forall a>1$

° Lời giải:

- Vì a > 1 nên a - 1 > 0 tao có:

$small a+frac{1}{a-1}=a-1+frac{1}{a-1}+1$ (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tao được)

$small a-1+frac{1}{a-1}+1>=2sqrt{(a-1)left ( frac{1}{a-1} ight )}+1=2+1=3$

Dấu "=" xẩy ra khi $small a-1=frac{1}{a-1}Leftrightarrow (a-1)^2=1Leftrightarrow Leftrightarrow left [egin{matrix} a=2\ a=0 end{matrix} ight.$

Đối chiếu ĐK a > 1 nên có thể nhận a = 2; loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với nội dung bài viết Cách lần độ quý hiếm lớn số 1 (GTLN, Max) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở bên trên canh ty những em nắm rõ rộng lớn về dạng toán này.

Việc áp dụng vào cụ thể từng câu hỏi yên cầu tài năng thực hiện toán của những em, tài năng này còn có được khi những em chịu khó rèn luyện qua không ít bài xích tập dượt. Mọi canh ty ý và vướng mắc những em hãy nhằm lại phán xét bên dưới nội dung bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và tương hỗ, chúc những em học tập chất lượng tốt.