Nguyên hàm là 1 trong trong mỗi đề chính cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện nay nhiều trong những kì ganh đua ĐH. Vậy với những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết này cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và tìm hiểu nắm rõ rộng lớn về bảng công thức nguyên vẹn hàm kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải bài bác tập luyện nguyên vẹn hàm phổ cập qua chuyện nội dung bài viết sau đây.
Bạn đang xem: ct nguyên hàm
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập
Nguyên hàm là gì?
Trước khi, lên đường thâm thúy nhập tìm hiểu hiểu công thức về nguyên vẹn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa nguyên vẹn hàm cũng giống như những đặc điểm và toan lý tương quan.
Định nghĩa nguyên vẹn hàm
Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm hiện nay hàm số F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng chừng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).
Kí hiệu nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) là:
\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)
Định lý nguyên vẹn hàm
3 toan lý của nguyên vẹn hàm là:
- Định lý 1: Giả sử F(x) là 1 trong nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K. Khi bại, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 trong nguyên vẹn hàm của f(x).
- Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là 1 trong nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) thì từng nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K đều phải sở hữu dạng F(x) + C, với C là 1 trong hằng số tùy ý.
- Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều phải sở hữu nguyên vẹn hàm.
Tính hóa học nguyên vẹn hàm
3 đặc điểm cơ bạn dạng của nguyên vẹn hàm được thể hiện nay như sau:
\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số với nguyên vẹn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\ &\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\ &\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) với đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\ &\footnotesize\bull\text{Tích của nguyên vẹn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\ &\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của nguyên vẹn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx \end{aligned}
Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng, không ngừng mở rộng và nâng cao
Mỗi dạng nguyên vẹn hàm đều phải sở hữu những công thức riêng biệt. Những công thức này và được tổ hợp trở nên những bảng sau đây nhằm những em đơn giản phân loại, ghi ghi nhớ và vận dụng đúng chuẩn.
Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bản
Bảng công thức nguyên vẹn hàm banh rộng
Bảng công thức nguyên vẹn hàm nâng cao
Bảng nguyên vẹn hàm hàm con số giác
2 cách thức giải bài bác tập luyện nguyên vẹn hàm phổ biến
Phương pháp thay đổi trở nên số
Đây là cách thức được dùng thật nhiều khi hương nguyên hàm. Vì vậy, những em rất cần được nắm rõ cách thức này nhằm giải những việc nguyên vẹn hàm nhanh chóng và đúng chuẩn rộng lớn.
Phương pháp thay đổi trở nên loại 1:
Cho hàm số u = u(x) với đạo hàm liên tiếp bên trên K, hắn = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:
∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhị vế: dt = φ'(t)dt.
Sau bại, biến hóa biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp thay đổi trở nên loại 2: Khi đề bài bác mang đến hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là 1 trong hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và với đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhị vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện nay trở nên đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp nguyên vẹn hàm từng phần
Phương pháp chung
Định lý: Nếu nhị hàm số u(x) và v(x) với đạo hàm liên tiếp bên trên K thì:
\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)
Cách giải:
Trước không còn, những em cần thiết biến hóa tích phân trước tiên về dạng:
I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp bám theo, đặt:
\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases} \implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}
Lúc này thì những em tiếp tục có:
\smallint udv=uv-\smallint vdu
Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán rõ ràng tuy nhiên những em vận dụng cách thức sao mang đến tương thích.
Các dạng nguyên vẹn hàm từng phần thông thường gặp
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất
Bài tập luyện về công thức nguyên vẹn hàm
Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Hãy nêu khái niệm nguyên vẹn hàm của hàm số mang đến trước f(x) bên trên một khoảng chừng.
b. Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần là gì? Đưa rời khỏi ví dụ minh họa mang đến phương pháp tính tiếp tục nêu.
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên tập luyện xác lập D.
Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số hắn = f(x) bên trên D khi Y = F(x) thỏa mãn nhu cầu ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.
b.
Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần được khái niệm như sau:
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) với đạo hàm liên tiếp bên trên D, khi bại tớ với công thức:
Xem thêm: đại học thăng long học phí
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv
Ví dụ minh họa: Tính nguyên vẹn hàm của hàm số A = ∫xexdx
Lời giải:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=x \\ dv=e^xdx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=e^x \end{cases} \\ & \small \text{Khi bại, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C \end{aligned}
Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]
b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ rõ ràng.
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên [a;b]
Khi bại, tích phân cần thiết tìm hiểu là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Tính hóa học của tích phân:
\begin{aligned} &\intop^a_bf(x)dx=0\\ &\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\ &\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\ &\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\ &\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx \end{aligned}
Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tìm nguyên vẹn hàm của những hàm số tiếp tục mang đến bên dưới đây:
\begin{aligned} &a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\ &b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\ &c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\ &d. f(x)=(e^x-1)^3 \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Suy ra
\begin{aligned} \small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\ &\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C \end{aligned}
b. Ta có:
\begin{aligned} \small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x \end{aligned}
Suy ra:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C
c. Ta có:
\begin{aligned} \small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\ &=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \end{aligned}
Suy ra:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\ &=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\ &=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\ \end{aligned}
d. Với bài bác tập luyện này, những em hoàn toàn có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính nguyên vẹn hàm mang đến từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn hoàn toàn có thể dùng cơ hội bịa ẩn phụ nhằm giải tìm hiểu nguyên vẹn hàm như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx
Ta có:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\ &=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\ &=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\ &=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\ &(Với\ C' = C-1) \end{aligned}
Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tính một số trong những nguyên vẹn hàm sau:
\begin{aligned} &a)\int(2-x).sinxdx\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\ &f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx} \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài bác tập:
\begin{aligned} &\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\ &\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\ &\int(2-x)sinxdx\\ &=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\ &=(x-2)cosx-sinx +C\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\ &=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\ &=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\ &c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\ &=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\ &=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\ &=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\ &=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\ &e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\ &=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\ &=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\ &g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\ &=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\ &=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C \end{aligned}
Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4
Đề bài:
Cho những số nguyên vẹn a và b thỏa mãn
\begin{aligned} & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb \end{aligned}
Hãy tính tổng P.. = a + b
Hướng dẫn giải bài bác tập:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=lnx \\ dv=(2x+1)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=\frac1xdx \\ v=x^2 +x \end{cases} \\ & \small \text{Khi bại, } \\ & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx \\ & \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx \\ & \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx \\ & \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1 \\ & \small = 6ln2 - (4 - \frac32) \\ & \small = -4 + \frac32 + ln64 \\ & \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc bại. P.. = a + b = 60.} \end{aligned}
Đề ganh đua test Sở Giáo Dục Bình Thuận
Đề bài:
Cho hàm số F(x) là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:
Hướng dẫn giải bài bác tập:
Đối với dạng bài bác nâng lên này, những em tiếp tục phối hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.
\begin{aligned} & \small \text{Đặt n = x + 1, khi đó: } \\ & \small K = \intop_0^3 xf(x)dx \\ & \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1) \\ & \small = \intop_3^0 F(n)dn \\ & \small =1 \\ & \small \text{Kế tiếp, tớ bịa } \begin{cases} u=x \\ dv=f(x)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=F(x) \end{cases} \\ & \small \text{Lúc đó: } \\ & \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8 \end{aligned}
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education tiếp tục share cho tới những em lý thuyết cơ bạn dạng về nguyên vẹn hàm, bàng nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng và không ngừng mở rộng và những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức nguyên vẹn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và chung áp dụng bọn chúng nhằm giải bài bác tập luyện một cơ hội nhanh gọn lẹ.
Hãy contact ngay lập tức với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kỹ năng và kiến thức nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong những bài bác đánh giá và kỳ ganh đua chuẩn bị tới!
Xem thêm: tòng phu hợp âm
Bình luận