Lý thuyết phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì.

* Cho mặt mũi phẳng lì \((P)\) , vectơ \(\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}\) mà giá bán của chính nó vuông góc với mặt mũi phẳng lì \((P)\) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì \((P)\).

* Cho mặt mũi phẳng lì \((P)\) , cặp vectơ \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) không nằm trong phương tuy nhiên giá bán của bọn chúng là hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song hoặc ở trong mặt mũi phẳng lì \((P)\) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt mũi phẳng lì \((P)\). Khi bại vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]\). là vectơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì \((P)\).

* Nếu \(\overrightarrow{a}\) \( = \;\left( {{a_1};{\rm{ }}\;{a_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}} \right)\), \(\overrightarrow{b}\) \( = \;\left( {{b_1}\;;{\rm{ }}{b_2}\;;{\rm{ }}{b_3}} \right)\) thì :

\(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]=(\begin{vmatrix} a_{2}&a_{3} \\ b_{2}& b_{3} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{3} & a_{1}\\ b_{3}&b_{1} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2}\\ b_{1}& b_{2} \end{vmatrix})\)

\( = \left( {{a_2}{b_3}\;-{\rm{ }}{a_3}{b_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}{b_1}\;-{\rm{ }}{a_1}{b_3}\;;{\rm{ }}{a_1}{b_2}\;-{\rm{ }}{a_2}{b_1}} \right).\)

* Mặt phẳng lì trọn vẹn được xác lập lúc biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của chính nó, hay 1 điểm nằm trong mặt mũi phẳng lì và cặp vectơ chỉ phương của chính nó.

2. Phương trình mặt mũi phẳng lì.

* Mặt phẳng lì \((P)\) qua chuyện điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right){\rm{ }}\;\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) \(\left( {A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C} \right)\) thực hiện vectơ pháp tuyến đem phương trình đem dạng: \(A\left( {x\;-\;{x_0}} \right) + B\left( {y-{y_0}} \right) + C\left( {z-{z_0}} \right) = 0\)

* Mọi mặt mũi phẳng lì nhập không khí đem phương trình tổng quát tháo đem dạng:

\(\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;Ax{\rm{ }} + {\rm{ }}By + Cz + D = 0{\rm{ }}\;{\rm{ }} \text {ở bại }\;{A^2} + {\rm{ }}{B^2}\; + {C^{2\;}} > 0.\) Khi bại vectơ \(\vec n\,(A;B;C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì.

* Mặt phẳng lì trải qua tía điểm \(M\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}N\left( {0;b;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;c} \right)\) ở bại \(abc\; \ne 0\) đem phương trình :\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\). Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt mũi phẳng lì bám theo đoạn chắn.

3. Vị trí kha khá của nhị mặt mũi phẳng lì.

Cho nhị mặt mũi phẳng lì \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) đem phương trình :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \;(A1;B1;C1) \bot (P1)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \;(A2;B2;C2) \bot (P2)\). Khi đó:

Xem thêm: Review giày Jordan 4 - Mẫu Sneaker đường phố ấn tượng, năng động

\(({P_1})\; \bot \;({P_2})\) ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}\perp \overrightarrow{n_{2}}\) ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}\) \(\; \Leftrightarrow {\rm{ }}{A_1}{A_2}\; + {\rm{ }}{B_1}{B_2}\; + {\rm{ }}{C_1}{C_2}\; = {\rm{ }}0\)

\(\left( {{P_1}} \right)\;//\;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và \({D_1}\; \ne {\rm{ }}k.{D_2}\;\left( {k\; \ne {\rm{ }}0} \right).\)

\(\left( {{P_1}} \right) \equiv \;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và \(\;{D_1}\; = {\rm{ }}k.{D_{2.}}\)

\(\left( {{P_1}} \right) \text {cắt} \left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}\neq k.\overrightarrow{n_{2}}\) (nghĩa là \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không nằm trong phương).

4. Khoảng cơ hội từ là 1 điểm đến chọn lựa một phía phẳng lì.

Trong không khí \(Oxyz\) cho tới mặt mũi phẳng lì \((P)\) đem phương trình:

\(Ax + By + Cz +D = 0\) và điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right).\) .Khoảng cơ hội từ M₀đến \((P)\) được cho tới bởi vì công thức:

\(d({M_0},P) = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

5. Góc thân ái nhị mặt phẳng lì.

Cho nhị mặt mũi phẳng lì \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) có phương trình :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Gọi \(\varphi \) là góc thân ái nhị mặt mũi phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) thì \(0\; \le \;\varphi {\rm{ }} \le {\rm{ }}{90^{0\;}}\) và :

\(cos\varphi =|cos\widehat{\left (\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right )}|=\dfrac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}+D|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\).