| Giải tích toán học tập → Giải tích phức |
| Giải tích phức |
|---|
 |
| Số phức |
|
| Hàm số phức |
|
| Lý thuyết cơ bản |
|
| Nhân vật |
|
|
|
Số phức (tiếng Anh: Complex number) là số hoàn toàn có thể ghi chép bên dưới dạng , vô bại liệt a và b là những số thực, là đơn vị chức năng ảo, với hoặc .[1] Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức hoàn toàn có thể được trình diễn bên trên mặt mũi bằng phẳng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo, bởi vậy một số phức được xác lập bởi một điểm đem tọa chừng (a,b). Một số phức nếu như đem phần thực bởi ko thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu như đem phần ảo bởi ko thì phát triển thành số thực R. Việc không ngừng mở rộng ngôi trường số phức nhằm giải những việc nhưng mà ko thể giải vô ngôi trường số thực.
Số phức được dùng trong tương đối nhiều nghành khoa học tập, như khoa học tập chuyên môn, năng lượng điện kể từ học tập, cơ học tập lượng tử, toán học tập phần mềm ví dụ như vô lý thuyết láo lếu loàn. Nhà toán học tập người Ý Gerolamo Cardano là kẻ thứ nhất thể hiện số phức. Ông dùng số phức nhằm giải những phương trình bậc tía vô thế kỉ 16.[2]
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Nhà toán học tập người Ý R. Bombelli (1526-1573) đã mang khái niệm thứ nhất về số phức, khi này được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" vô dự án công trình Đại số (Bologne, 1572) công tía không nhiều lâu trước lúc ông rơi rụng. Ông vẫn khái niệm những số bại liệt (số phức) khi nghiên cứu và phân tích những phương trình bậc tía và đã mang rời khỏi căn bậc nhị của .
Nhà toán học tập người Pháp D’Alembert vô năm 1746 vẫn xác lập được dạng tổng quát mắng "" của bọn chúng, bên cạnh đó đồng ý nguyên tắc tồn bên trên n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học tập Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã mang rời khỏi ký hiệu "" nhằm chỉ căn bậc nhị của , năm 1801 Gauss vẫn người sử dụng lại ký hiệu này.
Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức được cho phép giải một phương trình chắc chắn nhưng mà ko giải được vô ngôi trường số thực. Ví dụ, phương trình
không đem nghiệm thực, vì như thế bình phương của một số trong những thực ko thể âm. Các số phức được cho phép giải phương trình này. Ý tưởng là không ngừng mở rộng ngôi trường số thực quý phái đơn vị chức năng ảo với , chính vì thế phương trình bên trên được giải. Trong tình huống này những nghiệm là −1 + 3i và −1 − 3i, hoàn toàn có thể soát lại nghiệm khi thế vô phương trình và với :
![{\displaystyle {\big [}\left(-1+3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(3i\right)^{2}=\left(3^{2}\right)\left(i^{2}\right)=9\cdot \left(-1\right)=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07da03dc7cbb4d94418abdd4e3884770d3c034aa)
![{\displaystyle {\big [}\left(-1-3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(-3i\right)^{2}=\left(-3\right)^{2}\left(i^{2}\right)=9\cdot (-1)=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5334849aa929fb370d05e4c73e2940764c0042)
Thực tế không chỉ là những phương trình bậc nhị nhưng mà toàn bộ những phương trình đại số đem thông số thực hoặc số ảo với cùng 1 biến chuyển số hoàn toàn có thể giải bởi số phức.
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức được trình diễn bên dưới dạng , với a và b là những số thực và là đơn vị ảo, thỏa mãn nhu cầu ĐK . Ví dụ là 1 số phức.
Số thực a được gọi là phần thực của ; số thực b được gọi là phần ảo của . Theo bại liệt, phần ảo không tồn tại chứa chấp đơn vị chức năng ảo: bởi vậy b, ko nên bi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hoặc ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hoặc ℑ(z). Ví dụ:
Do bại liệt, nếu như xét theo đòi phần thực và phần ảo, một số phức z sẽ tiến hành ghi chép là . Biểu thức này đôi lúc được gọi là dạng Cartesi của z.
Một số thực a hoàn toàn có thể được trình diễn ở dạng phức là với phần ảo là 0. Số thuần ảo là 1 số phức được ghi chép là với phần thực bởi 0. Dường như, khi phần ảo âm, nó được ghi chép là với chứ không , ví dụ chứ không .
Tập ăn ý toàn bộ những số phức hoặc ngôi trường số phức được ký hiệu là ℂ, hoặc . Có nhiều cách thức kiến tạo ngôi trường số phức một cơ hội ngặt nghèo bởi cách thức định đề.
Gọi là ngôi trường số thực. Ký hiệu là tụ hợp những cặp (a,b) với .
Trong , khái niệm nhị luật lệ nằm trong và luật lệ nhân như sau:
thì là 1 ngôi trường (xem cấu tạo đại số).
Ta hoàn toàn có thể lập một đơn ánh kể từ tập dượt số thực vô bằng phương pháp cho từng số thực a ứng với cặp . Khi bại liệt ... Nhờ luật lệ nhúng, tớ tương đồng tập dượt những số thực với tập dượt con cái những số phức dạng , khi bại liệt tập dượt những số thực là tập dượt con cái của tập dượt những số phức và sẽ là một không ngừng mở rộng của .
Ký hiệu là cặp (0,1) . Ta có
.
Tất cả những số phức dạng được gọi là những số thuần ảo.
Một số định nghĩa cần thiết vô ngôi trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Dạng đại số của số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Trong ngôi trường số phức, đặc điểm của đơn vị chức năng ảo đặc thù bởi biểu thức
Mỗi số phức z đều được trình diễn độc nhất bên dưới dạng:
Xem thêm: vuong gia thien hạ
trong bại liệt a, b là những số thực. Dạng trình diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.
Với cơ hội trình diễn bên dưới dạng đại số, luật lệ nằm trong và nhân những số phức được triển khai như luật lệ nằm trong và nhân những nhị thức hàng đầu với chú ý rằng . Như vậy, tớ có:
Mặt bằng phẳng phức[sửa | sửa mã nguồn]
Trong hệ toạ chừng Descartes, hoàn toàn có thể người sử dụng trục hoành chỉ tọa chừng phần thực còn trục tung mang lại tọa chừng phần ảo nhằm trình diễn một số phức
Khi bại liệt mặt mũi bằng phẳng tọa chừng được gọi là mặt mũi bằng phẳng phức.
Số thực và số thuần ảo[sửa | sửa mã nguồn]
Mỗi số thực sẽ là một số phức đem .
Ta có:
Nếu , số phức được gọi là thuần ảo.
Số phức liên hợp[sửa | sửa mã nguồn]
Cho số phức bên dưới dạng đại số , số phức được gọi là số phức phối hợp của z.
Một số đặc điểm của số phức liên hợp:
- là một số trong những thực.
- là một số trong những thực
- =
- =
Module và Argument[sửa | sửa mã nguồn]
- Xem thêm: độ quý hiếm tuyệt đối
Dạng lượng giác của số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức hoàn toàn có thể ghi chép bên dưới dạng
Khi đặt
- ,
ta có
Cách trình diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức .
Phép toán bên trên những số phức ghi chép bên dưới dạng lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]
- Phép nhân và luật lệ phân tách những số phức bên dưới dạng lượng giác
Cho nhị số phức bên dưới dạng lượng giác
Khi đó
- Lũy quá ngẫu nhiên của số phức bên dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).
- Khai căn số phức bên dưới dạng lượng giác.
Mọi số phức z không giống 0 đều sở hữu đích n căn bậc n, là những số dạng
![{\displaystyle {\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\psi }_{k}+i\sin {\psi }_{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03dd7d07b639e386d3e187aac1866ee12ba466b)
trong bại liệt ,
Xem thêm: bảo hiểm khoản vay là gì
Một số ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]
Các tụ hợp số[sửa | sửa mã nguồn]
- : Tập ăn ý số tự động nhiên
- : Tập ăn ý số nguyên
- : Tập ăn ý số hữu tỉ
- : Tập ăn ý số vô tỉ
- : Tập ăn ý số thực
- : Tập ăn ý số phức
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
- Hình học tập phức
- Mặt cầu Riemann (mặt bằng phẳng phức cởi rộng)
- Giải tích phức
- Số siêu phức
- Số nguyên vẹn Gauss
- Căn bậc hai
- Công thức Euler
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ Charles P.. McKeague (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. tr. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9.
- ^ Burton (1995, tr. 294)
- ^ Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA), ISBN 978-0-07-161569-3
- ^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Algebra and Trigonometry (ấn phiên bản 6), Cengage Learning, tr. 66, ISBN 0-618-82515-0, Chapter P.., p. 66
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
 |
Wikimedia Commons được thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Số phức. |
- Số phức bên trên Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
| Các chủ thể chủ yếu vô toán học |
|---|
| Nền tảng toán học tập | Đại số | Giải tích | Hình học tập | Lý thuyết số | Toán học tập tách rốc | Toán học tập phần mềm | Toán học tập vui chơi | Toán học tập tô pô | Xác suất thống kê |
Bình luận